L’adéquation des mathématiques à la réalité éclairée par Spinoza

N’importe qui ne peut manquer d’être fasciné par l’étonnante capacité des mathématiques, pur produit de l’intelligence humaine, à rendre compte des réalités naturelles. Même plus, des êtres mathématiques, inventés et développés uniquement pour répondre à des questions internes à un domaine de cette science sans aucun souci d’une quelconque réalité physique, se retrouvent, des siècles plus tard, être des outils incontournables pour explorer la matière. Que l’on pense aux tenseurs, aux quaternions, à la géométrie riemannienne, pour n’en citer que trois.

Cet étonnement trouve sa source dans le rapport technique naturel que l’homme a avec la nature, considérée comme matière passive à connaître. La droite peut être considérée comme abstraite de l’apparence du fil à plomb, par exemple, et le plan, abstrait de la surface du lac ; et ensuite, on formalise de façon à en faire des outils de raisonnement rigoureux. Dès lors, il est étonnant de trouver des situations où des idées – les êtres mathématiques – échappent au contrôle de la pensée humaine, et semblent avoir leur vie propre, comme s’ils avaient déjà informé la matière avant d’accéder au statut de savoir culturel humain par le travail des mathématiciens.

Bien sûr, la recherche d’une réponse au pourquoi de cette extraordinaire adéquation des mathématiques au réel ne peut qu’être spéculative. Et ne pourra jamais faire l’objet d’une vérification quelconque. Elle est au-delà de la physique, métaphysique. Mais elle peut être soumise à des objections et ne pas pouvoir y résister.

L’applicabilité des mathématiques signifie qu’il y a un lien entre l’esprit humain et le monde naturel. Paradoxalement cependant les spéculations métaphysiques à ce propos ne sont pas parties du lien, mais ont privilégié l’un ou l’autre terme de la relation : soit on a considéré l’esprit humain comme prévalent en ce sens que c’est l’esprit qui projette ses outils  sur le monde pour le connaître et que ces outils sont mathématiques, soit on a pensé que le monde est prévalent, que son ordre est mathématique et que l’homme, en tant que partie de ce monde, découvre cet ordre.

La première option est avancée sous diverses formes par Poincaré, Piaget, les cognitivistes et Kant.

Henri Poincaré, les mathématiques comme langage parfaitement adapté : «Toutes les lois sont tirées de l’expérience, mais, pour les énoncer, il faut une langue spéciale; le langage ordinaire est trop pauvre, il est d’ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis. Voilà donc une première raison pour laquelle le physicien ne peut se passer des mathématiques; elles lui fournissent la seule langue qu’il puisse parler».

Mais cette thèse amoindrit la réalité des êtres mathématiques. Il y a une objectivité forte des mathématiques ; d’autant plus forte qu’étant de nature idéelle, elle échappe au devenir naturel des êtres. Or, il n’a jamais existé de langue qui n’évolue jamais ; tout concept a une histoire (il apparaît, évolue dans sa signification et disparaît). La mathématique ne donne pas de bons concepts, elle donne plus, des objets universels et éternels.

Piaget (psychologie génétique) et le cognitivisme. Selon ces interprétations, les objets mathématiques, du moins leurs éléments de base, se seraient inscrits dans l’esprit comme produit de l’évolution antérieure de l’individu – psychologie génétique – ou de l’espèce – cognitivisme – on considère alors qu’ils correspondent à des propriétés acquises du cerveau, identifiables biologiquement. En ce sens leur origine serait naturelle : ils seraient la manière dont l’évolution a su prendre en compte des caractères essentiels du monde environnant. Si l’applicabilité des mathématiques au monde naturel est étonnante subjectivement, cela est dû à la non conscience de ce processus d’acquisition. Objectivement, elle est tout à fait logique puisque c’est le monde naturel lui-même qui a déterminé ces conditionnements mathématiques élémentaires.

On peut admettre sans difficulté que l’adaptation du petit enfant, ou de l’espèce ait donné des éléments mathématiques à tous les hommes. Ce fait indique seulement qu’il y a, ici comme ailleurs, une base naturelle à partir de laquelle ce phénomène culturel a pu se construire mais ne peut pas rendre compte que des objets mathématiques très complexes élaborés de façon purement intellectuelle, sans lien au départ avec une quelconque réalité matérielle, puisse, en définitive, rendre compte de certaines de ces réalités.

Kant considère pour sa part  que ce sont les choses, il faut plutôt dire les phénomènes, qui s’adaptent au propre pouvoir de connaître de l’homme.  Les catégories sont les règles par lesquelles son esprit constitue les impressions sensibles en objets. Elles sont aussi les règles qui permettent d’établir les relations nécessaires entre objets (la science). Par ailleurs, le libre jeu des catégories, hors toute expérience, permet de construire des objets non sensibles : les objets mathématiques.  Il est donc parfaitement logique que les objets mathématiques soient adéquats à la connaissance scientifique.

Mais ici on objectera qu’ainsi on perd, d’une certaine manière, la réalité du monde, qui se dissout dans le pouvoir de légiférer de l’esprit humain. Au point qu’on peut se demander si Kant ne résout pas le problème en supprimant un des termes du lien, le monde extérieur.

Les tenants du second point de vue affirment que l’ordre mathématique appartient à l’essence de l’univers et s’impose à l’esprit humain en tant que celui-ci en fait partie. Cette essence peut être vue de diverses façons :

En Dieu :

Galilée : Dieu a écrit le grand livre de la nature en langue mathématique.

Descartes : Dieu a privilégié l’homme en mettant en son esprit les notions élémentaires des mathématiques afin de le faire participer au secret de sa création et aussi lui permettre d’améliorer sa condition.

Comme grand objecteur, ici, on pourra faire appel à Spinoza : « … la volonté de Dieu, cet asile de l’ignorance » (Ethique, première partie, Appendice).

Dans le monde des Idées (Platon) :

Les objets mathématiques sont des objets réels, qui existent, d’une existence hors du temps, dans le monde des Idées, qui sont accessibles à notre esprit, et peuvent participer à la nature des choses sensibles.

Mais qu’est-ce monde, sinon une autre forme transcendante de divinité et un autre « asile de l’ignorance » ? Et comment penser le lien entre ce monde des Idées et le monde matériel ?

Dans l’essence du monde :

Pythagore : « Tout est nombre ». Les objets mathématiques constituent l’essence des êtres, et l’homme, par son esprit, a un accès privilégié à ces objets.

Alain Badiou, philosophe contemporain, reprend cette thèse en considérant que la théorie mathématique est l’ontologie même, c’est-à-dire, le seul discours rationnel possible sur l’être en tant qu’être ; elle nous décrit la structure de l’être.

C’est évidemment la solution la plus simple du problème. Mais elle consiste à le supprimer par un simple acte de foi en créant une ontologie adaptée à lui seul. « Tout est mathématique ! », et basta !

Chacune des théories examinées tente de résoudre le problème du lien entre l’esprit humain et le monde naturel afin de rendre compte de l’applicabilité des mathématiques, produit de l’esprit, à ce monde, en privilégiant l’un ou l’autre des deux termes de ce lien, mais elles soulèvent toutes des objections non négligeables.

Et pourtant il y a une ontologie centrée autour du lien entre la Pensée et l’Etendue, l’Esprit et la Matière, et de laquelle on peut déduire une solution originale, élégante et dénuée d’objection (sauf celle de ne pas adhérer à cette ontologie) : le spinozisme

L’Ethique présente la Pensée et l’Etendue comme  deux expressions de la même Totalité à laquelle l’homme appartient. Il s’ensuit que « l’ordre et la connexion des choses est le même que l’ordre et la connexion des idées » (Ethique, deuxième partie, proposition 7). Ainsi à toute création mathématique doit correspondre un objet matériel, comme à tout objet matériel doit correspondre une idée rigoureuse, et donc, en droit, formalisable mathématiquement. Explication claire et distincte et par les causes : explication adéquate ! Elle donne lieu à une connaissance du troisième genre (voir l’article « Spinoza et la connaissance du troisième genre ») : en effet, nous avons « progressé de l’idée adéquate de l’essence formelle de certains attributs (Ici, la Pensée et l’Etendue, comme deux expressions d’une même Totalité) jusqu’à la connaissance adéquate de l’essence d’une chose (ici, le lien entre les êtres mathématiques et les corps matériels) » (Ethique, deuxième partie, scolie 2 de la proposition 40).

Jean-Pierre Vandeuren

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